Internes Reibungswinkelmodell von Partikeln

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 2036 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Derzeit steigt der Druck aus der Industrie, Prozesse durch die Erstellung ihrer Simulationsmodelle zu rationalisieren und damit schrittweise zu digitalisieren. Der Kern repräsentativer Simulationsmodelle von Schüttgütern besteht darin, die Prinzipien und Gesetze des realen Verhaltens von Partikeln zu verstehen. Ziel dieser Studie ist es daher, die Möglichkeiten und Prinzipien zu finden und zu quantifizieren, wie Partikel ihre Position relativ zu anderen Partikeln ändern können. Die Möglichkeiten der Partikelverschiebungen wurden anhand ihrer spezifischen Flugbahnen und Arbeitsverhältnisse oder internen Reibungswinkelwerte ausgedrückt. Dadurch entstand ein neues umfassendes Modell des inneren Reibungswinkels von Partikeln unabhängig von der Partikelgröße. Es ermöglicht die Interpretation der ermittelten Werte der inneren Reibungswinkel von Partikeln und deren Anwendung im Bereich der Simulation von Massen- und Prozessmodellen. Das Modell kann verwendet werden, um die grundlegende Zusammensetzung von Partikeln im Volumen und die vorherrschenden Arten ihrer gegenseitigen Verschiebungen zu bestimmen.

Auf dem Gebiet der Partikelmaterialmechanik scheint es, dass die allgemeine Frage der Partikelverschiebung durch die Annahme einer quasilinearen Bewegung gelöst wird, die auf im Vergleich zu dem Raum, in dem sie sich bewegen, verschwindend kleinen oder zumindest ausreichend kleinen Partikeln basiert. Das Beispiel könnte die Scherspannung im Verhältnis zum Verhältnis des Scherzellendurchmessers D zur Partikelgröße sein1.

Scherversuche zur Bestimmung der Parameter Reibung und Strömung sind sehr geeignete Methoden zur Beschreibung der Eigenschaften von Partikelmaterialien2,3,4,5. Schermaschinenhersteller verwenden unterschiedliche Scherzellenkonstruktionen und empfehlen je nach Größe auch unterschiedliche Verhältnisse der maximalen Partikelgröße zur charakteristischen Größe dieser Zellen6,7.

Im direkten Scherversuch von Jenike ist die Scherebene nicht ideal horizontal1,6. Die tatsächliche Scherrichtung weicht winkelmäßig von der imaginären horizontalen Scherebene ab. Es handelt sich eher um eine Scherzone als um eine Ebene. Partikelgröße und Normalbelastung haben einen erheblichen Einfluss auf die Eigenschaften der Scherzone. Zum Jenike-Schertest wurden zahlreiche Experimente durchgeführt, bei denen die Form der Scherzone beispielsweise durch Röntgenscans nachgewiesen wurde8.

Der aktuelle Stand der Teilchenforschung ermöglicht detailliertere Untersuchungen des Teilchenverhaltens mittels diskreter Elementsimulationen (DEM). Viele Arbeiten haben sich auf die effiziente Bestimmung der optimalen Partikelform für Simulationsprozesse konzentriert9,10. Diese Prozessmethoden werden anhand des volumetrischen Verhaltens der Materialien validiert. Es besteht ein direkter Zusammenhang mit der Auswirkung der Partikelformeigenschaften auf das Volumen- und Festigkeitsverhalten sowie der Änderung des inneren Reibungswinkels11. Um die komplexen Materialeigenschaften anhand der inneren Reibung zu bewerten, kann der Einfluss der Partikelform auf die innere Reibung einbezogen werden.

Schertests waren Gegenstand zahlreicher Untersuchungen mit Schwerpunkt auf DEM12. Die Vielfalt der Kraftverteilung, Partikelrichtungen und -geschwindigkeiten sowie der Einfluss der Partikelgröße auf die Scherzone, ihre Form und Größe wurden auch mithilfe von DEM-Simulationen nachgewiesen13,14. Die Ergebnisse von Experimenten und Simulationen zeigen, dass die Scherzone keine horizontale Ebene ist und ihre Form nachweislich mit Partikelverschiebungen zusammenhängt.

Eine ideale Scherebene würde durch präzise Scherung (Querschnitt) von Partikeln in einer Scherzelle oder durch die Scherung von verschwindend kleinen Partikeln erzeugt.

Dilatanz bei körnigen Materialien ist ein weiteres wichtiges Konzept15. Unter Dilatation versteht man hier eine Volumenänderung, die durch quasistatische Scherverformung verursacht wird. Reynolds stellte fest, dass der von Rankin verwendete Reibungswinkel eine makroskopische Größe ist, die „mit der Anordnung der Teilchen zusammenhängt“16. Es ist erwiesen, dass die Reibung zwischen Partikeln für die Festigkeit körniger Materialien in Makrodimensionen weitaus weniger wichtig ist als deren „Anordnung“16,17,18.

Das eigentliche Wesen des Kontinuums trockener kristalliner Materialien, angewandt auf die Prinzipien der Scherzell- und Partikelgrößenverhältnisse, kann weiter als die Anzahl der Möglichkeiten verstanden werden, die Position von Partikeln in einem Volumenelement (Raum) relativ zueinander zu ändern.

Wenn gezeigt werden würde, dass ein Teilchen eine begrenzte Anzahl von Möglichkeiten hat, seine Position relativ zu anderen Teilchen zu ändern, dann wäre auch die Gesamtzahl der Positionsänderungen aller Teilchen quantifizierbar (endgültig).

Dieser Artikel beschreibt eine neue Perspektive auf den inneren Reibungswinkel von Partikeln. Das vorgeschlagene Modell basiert auf einer Partikelgröße ungleich Null mit einer symmetrischen Form, die in eine Kugel eingebettet werden kann (Grundformen).

Historisch gesehen gibt es einige Tendenzen, die Interpretation der inneren Reibung durch einen Ruhewinkel zu vereinfachen, z. B.19. Diese Studie konzentriert sich auf die Teileffekte von Teilchenverschiebungen, die als Makroeigenschaften der Materie (Schüttwinkel usw.) auftreten können.

Mechanische Arbeit ergibt sich aus dem Skalarprodukt aus Kraft und Weg. In der Teilchenmechanik ist es das Produkt der auf das Teilchen wirkenden äußeren Kraft und der Größe seiner Verschiebung. Im Allgemeinen wurde Fragen der Kraftwechselwirkungen zwischen Partikeln immer viel Aufmerksamkeit geschenkt, während der Frage, wie sich die möglichen Flugbahnen von Partikeln bestimmen, wenn sich ihre Position relativ zur Umgebung ändert, nur minimale Aufmerksamkeit geschenkt wurde. Tatsache ist, dass bei der Bestimmung mechanischer Arbeit sowohl Kraft als auch Weg den resultierenden Wert im Skalarprodukt aus Kraft und Flugbahn beeinflussen.

Der infinitesimale Zuwachs der mechanischen Arbeit ergibt sich aus dem Skalarprodukt dW (1), wobei F die auf das Teilchen wirkende Kraft und ds ein unendlich kleiner Verschiebungsvektor entlang der Flugbahn des Teilchens ist. Gleichung (2) gilt dann für dreidimensionale Vektoren.

Die allgemeine Definition der inneren Reibung basiert auf der Energiebilanz, die die Fähigkeit von Materieteilchen beschreibt, Arbeit zu verrichten.

Die Situation in Abb. 1 geht von trockener (Coulomb) Reibung ohne tatsächliche Rotation von Körpern aus, wobei die kinetische Reibungskraft T gleich dem Produkt aus dem kinetischen Reibungskoeffizienten tan(φ) und der Normalkraft N ist und ihre Richtung dem Schlupf entgegengesetzt ist Richtung. Der Weg von Körpern (Teilchen) ist durch ihre Form gegeben.

Diagramm der Arbeit von Teilchen während der Verschiebung.

Das Verhältnis der Arbeiten dW1 und dW2 kann als verallgemeinerter Tangens des Winkels der inneren Reibung betrachtet werden und dieses Verhältnis kann in der folgenden Form geschrieben werden (siehe Gleichung 3):

wobei α der Winkel zwischen den Vektoren dT und Δx bzw. den Vektoren dN und Δz ist. Das Grundmodell geht davon aus, dass die Kraftvektoren parallel zu den Verschiebungsvektoren verlaufen, wenn der Winkel α Null ist oder sich dem Grenzwert Null nähert (Gl. 4).

Dann ist das Verhältnis der Kraftgrößen gleich dem Parameter B

und das Verhältnis der Größe der Verschiebung ist gleich dem Parameter C.

Lösen des in Gl. definierten Verhältnisses. (3) führt zu drei möglichen Interpretationen der Reibung, die durch die Bedingungen gegeben sind:

Kleine oder symmetrische Verschiebungen und größere Reibungskräfte (Gl. 5)

Größere Verschiebungen und kleinere Reibungskräfte (Gleichung 6)

Kombination aus beidem (Gl. 5 und 6)

Wenn wir das Verhältnis der Verschiebungslängen der Teilchen C nicht kennen, können wir die Situation lösen, indem wir sehr kleine (infinitesimale) Teilchen (mit einem charakteristischen Radius R → 0) annehmen. Wenn ihre Verschiebungen ǀǀΔxǀǀ und ǀǀΔzǀǀ verschwindend klein sind, kann die Aufgabe durch den Grenzwert des Verhältnisses der jeweiligen Verschiebungen definiert werden (Gl. 7). Der Einfluss kleiner Partikelgrößen ist Gegenstand von Arbeiten, die sich mit der Bestimmung von Randbedingungen für die Messbarkeit von Proben auf Schermaschinen befassen1,20,21.

Der charakteristische Radius R stellt die maximale Korngröße dar. Im Idealfall ist die Form symmetrisch und kugelförmig, in der realen Welt besteht sie jedoch aus unendlich vielen Flächen. Zur einfacheren grafischen Darstellung wird in dieser Arbeit die reale Form der durch asymmetrische Oberflächen gebildeten Partikel durch eine Kugelform ersetzt.

Der Parameter, der von der charakteristischen Partikelgröße (vom charakteristischen Radius R) abhängt, ist Parameter C (Gl. 6). Es drückt den Einfluss der geometrischen Parameter der Partikel auf den Wert des inneren Reibungswinkels aus.

Für den Grenzfall, dass die Partikelgröße gegen Null geht, können wir die existentielle Bedingung des Parameters C schreiben (Verschiebungen ǀǀΔxǀǀ und ǀǀΔzǀǀ sind eine Funktion der Partikelgröße mit dem charakteristischen Radius R) oder Partikel mit R → 0 ⇒ ǀǀΔxǀǀ → 0 ∧ ǀǀΔzǀǀ haben → 0. Wenn es sich um Längen der Verschiebungsvektoren ǀǀΔxǀǀ und ǀǀΔzǀǀ handelt, die gegen Null gehen, können wir annehmen, dass ihr Verhältnis gleich 1 ist.

Daraus folgt, dass für eine Partikelgröße von Null das dissipative Arbeitsverhältnis in Gl. (3) ist keine Funktion der Verschiebungsvektoren, sondern ein Verhältnis der Größen der Kräfte. Der Tangens des inneren Reibungswinkels (Gl. 8) ergibt sich aus dem Produkt des Verhältnisses der Beträge der Kräfte B (Gl. 5) und des Verhältnisses der Beträge der Verschiebung C = 1 (Gl. 6).

Unter idealen Bedingungen und für nicht nullsymmetrische Partikelgrößen (ohne Verformungen, Partikelabbau und Feuchtigkeit) kommt es in der Scherzelle zu Partikelverschiebungen unter Beibehaltung des Probenvolumens. Wenn das Volumen konstant ist, ist es möglich, dass es eine endliche Anzahl möglicher Partikelverschiebungen gibt, die durch die Dauer (Zeit) begrenzt sind. Bei einem Rotationsschertest gibt es keine durch die Geometrie vorgegebene Pfadbeschränkung und die Grundverschiebungen können sich zyklisch wiederholen (Abb. 2).

Partikelverschiebung. (a) Ausgangsposition des Drehtests, (b) Endposition des Drehtests, (c) schematische Darstellung der Ausgangsposition, (d) schematische Darstellung der Verschiebung.

Gleichung (8) kann auch annehmen, dass ǀǀΔxǀǀ = ǀǀΔzǀǀ gilt, selbst wenn das Längenverhältnis C 1 wäre. Diese Situation wird in Abb. 3 erläutert. Das obere Teilchen steht in Kontakt mit dem unteren und verschiebt sich um ǀǀΔxǀǀ = ǀǀΔzǀǀ oder beide Teilchen kann sich um die gleichen Werte von ǀǀΔxǀǀ und ǀǀΔzǀǀ verschieben.

Möglichkeit symmetrischer Verschiebungswerte ǀǀΔxǀǀ und ǀǀΔzǀǀ.

Unter der Annahme einer Partikelgröße von Null oder ǀǀΔxǀǀ = ǀǀΔzǀǀ können wir auch Gl. (9) für die Schubspannung und Gl. (10) für die Normalspannung. Es kann auch angenommen werden, dass die Scherfläche Aτ gleich der Normalfläche Aσ ist, also Aτ = Aσ = A, und daher wird der Tangens des inneren Reibungswinkels üblicherweise als Gl. (11).

Unter der Annahme, dass die Größe der Kräfte, die die Arbeit verrichten, gegen Null geht, können wir Gleichung lösen. (3) analog auf der Grenze des Größenverhältnisses der Kräfte B (siehe Gleichung 5) mit der Bedingung, dass die Größe der Kräfte gegen Null geht. Materieteilchen werden nur durch äußere Kräfte in der Umgebung verschoben (die andere Teilchen beeinflussen). Materieteilchen bewegen sich beispielsweise, indem sie die Lücken zwischen den Teilchen passieren. Partikel fallen durch und die Reibung schwankt (Übergänge zwischen Haftreibung und Gleitreibung bzw. Slip-Stick-Effekt) aufgrund der Unebenheiten der von den Partikeln gebildeten Oberflächen, wenn sich die Partikel untereinander bewegen.

Wenn wir es mit den Größen der Vektorkräfte ǀǀdTǀǀ und ǀǀdNǀǀ zu tun haben, die gegen Null gehen, oder wenn der innere Reibungswinkel φ → 0 ⇒ ǀǀdTǀǀ ≈ ǀǀdNǀǀ (perfekte Flüssigkeit/reibungsfreie Flüssigkeit) ist, können wir es uns leisten, eine ähnliche Annahme wie im Abschnitt „ Kleine oder symmetrische Verschiebungen und größere Reibungskräfte“, nämlich dass das Verhältnis der Größen der Kräfte B gleich 1 ist, oder

Daraus folgt, dass der Tangens des Winkels der inneren Reibung durch das Produkt des Verhältnisses der Weglängen C und des Verhältnisses der Größe der Kräfte gleich 1 oder gegeben ist

Gleichung (13) stellt eine Situation dar, in der die Größe des Kraftverhältnisses B in Bezug auf die Größe des Wegverhältnisses C vernachlässigbar ist. Der innere Reibungswinkel der Partikel ist dann unabhängig von der Kraftwirkung definiert und hängt von der Verschiebung ab die Teilchen für Teilchensysteme.

Die proportionale dissipative Arbeit kann durch den Tangens eines Winkels φ ausgedrückt werden:

wobei beide Parameter ungleich Null sind. Die Lösung ist kompliziert, da sowohl das Verhältnis der Kraftgrößen als auch das Verhältnis der Weglängen komplexe Funktionen vieler physikalischer Größen sind und die Lösung der Definition komplizierter Kontaktaufgaben unterliegt, deren Lösbarkeit noch durch den Optimierungsgrad bestimmt wird mathematische Modelle zur Berechnung spezifischer Lösungen.

Das Modell der inneren Reibung von Partikeln basiert auf den grundlegenden Formkontakten von Partikeln und den Abstandsunterschieden zwischen den Partikeln dieser Formkontakte. Die erste Gruppe T11–T15 (Abb. 4) zeichnet sich dadurch aus, dass das aktive Teilchen das passive Teilchen „umgeht“22. Die zweite Gruppe T21–T25 (Abb. 4) zeichnet sich dadurch aus, dass die aktiven Partikel die passiven Partikel verdrängen. Abbildung 4 zeigt die Anfangs- und Endposition des Partikels der einzelnen Partikelbewegungen.

Anfangs- und Endpositionen der Verschiebungen T11–T15 und T21–T25.

Der Wert von Δz repräsentiert den maximal möglichen Weg des Partikels in vertikaler Richtung und außerdem den Höhenunterschied der Position des Partikels. Die Berechnung erfolgte als Differenz zwischen den maximalen und minimalen Höhenwerten für die Verschiebungen T11–T15, die die Kugelkontur des Partikels ausführen kann (Gl. 15). Für T21–T25-Verschiebungen ist der Wert von Δz direkt gleich der maximalen Höhe (Gl. 16). Der Wert von Δx stellt die Verschiebung des Partikels in horizontaler Richtung dar, sodass immer der Maximalwert von Δz erreicht wird. Jede Verschiebung ist in ihrer eigenen Kombination von Δz/Δx-Werten spezifisch und unabhängig vom Partikelradius-R-Parameter (Tabelle 1). Tabelle 2 zeigt dann die Arbeitsverhältnisse dW1 und dW2 bzw. den Wert tan(φ) und den inneren Reibungswinkel der Partikel φ.

Bei gleicher Wahrscheinlichkeit des Erreichens der Anzahl n der einzelnen Verschiebungen kann der mittlere wahrscheinliche Winkel der inneren Reibung der Partikel φc durch Gleichung ausgedrückt werden. (17). Der Koeffizient kTij repräsentiert die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Verschiebungen T11–T15 und T21–T25. In unserem Modellfall entspricht kT11–kT25 dem Wert 1 und nach Erreichen von φc = 39,2°.

Aufgrund seiner stabilen Kristallisation in einem kubischen System und der Möglichkeit, eine Kristallform in eine Kugel einzufügen, wurde ein trockenes kristallines Material in Form von NaCl-Salz gewählt (Abb. 5). Die Partikelgrößenverteilung wurde mit den Geräten Camsizer Retch und Cillas 1190 gemessen. Tabelle 3 zeigt die gemessenen Partikelgrößenwerte. Die Bezeichnung der Salzproben ist dieselbe wie in Abb. 5.

Ansicht der Körner der gemessenen Salzproben, (a) jodiertes Speisesalz, (b) reines Natursalz, (c) feines Meersalz, (d) grobkörniges Meersalz, (e) sizilianisches Feinsalz, (f) dehydriertes Meersalz, (g) feines Küstenmeersalz, (h) grobkörniges sizilianisches Salz, (i) essbares Steinsalz, (j) grobkörniges italienisches Meersalz.

Die Messung der inneren Reibung wurde mit einem Ringschergerät RST-01.pc durchgeführt. Die normale Belastung für die Vorscherung wurde auf 20, 10, 5 kPa eingestellt. Einzelne Normalbelastungen wurden zehnmal gemessen. Der niedrigste gemessene Wert der Normallast für Scherung wurde auf 10 % der Normallast für Vorscherung festgelegt und die Anzahl der Spannungsstufen betrug 6.

Der Winkel der inneren Reibung bei stationärer Strömung φsf wurde sowohl für die teilweise Normallast für die Vorscherung (20, 10, 5 kPa) als auch für alle drei dieser Spannungen jeder Salzprobe gemittelt. Der resultierende Wert von φsfC wurde dann durch Mittelung aller Werte von φsf ermittelt. Dieser Winkel charakterisiert die innere Reibung bei stationärer Strömung in der Schnittebene (Reibung Schüttgut/Schüttgut)3,7. Tabelle 4 fasst die gemessenen φsf-Werte zusammen.

Abbildung 6 zeigt einen Überblick über experimentelle φsf-Daten, die für einzelne Salzproben, aber auch als Ganzes für einen Satz von φsfC-Salzproben in eine Gauß-Verteilung verarbeitet wurden. Darüber hinaus ist hier der abgeleitete mittlere wahrscheinliche Winkel der inneren Reibung der Partikel φC angegeben. Da es keine perfekte Überlappung dieser beiden Werte gibt, lässt sich daraus schließen, dass die Wahrscheinlichkeit der betrachteten Einzelverschiebungen nicht einheitlich bzw. gleich ist wie im Modell betrachtet, sondern zu einem gewissen Ungleichgewicht tendiert.

Gaußsche Verteilung φsf für einzelne Proben, für den gesamten Probensatz φsfC und mittlerer wahrscheinlicher Winkel der inneren Reibung der Partikel φC.

Der Artikel stellt das Prinzip der Beschreibung der inneren Reibung von Partikeln mithilfe eines probabilistischen Modells für Partikelformverschiebungen vor. Es wurde ein Zusammenhang zwischen dem Modell der Formwinkel der inneren Reibung von Partikeln und dem experimentell bestimmten Winkel der inneren Reibung von Partikeln bei stationärer Strömung gefunden. Die Bildung der Partikelverschiebung und das Gleichgewicht der inneren Reibung basieren auf Änderungen der Position der Partikel relativ zu den Änderungen ihrer Position in der Umgebung.

Die Art der Bewegung sowohl einzelner Partikel als auch ihrer Gruppen innerhalb des Partikelkörpers impliziert, dass das Erreichen von Bewegung von der Bewegungsautonomie einzelner Partikel und ihrer Cluster abhängt. Die Bewegungsautonomie einzelner Partikel ermöglicht die Charakterisierung der Fließfähigkeit nichtkohäsiver Schüttgüter.

Das in dieser Arbeit vorgestellte Modell basiert auf der Beschreibung der Eigenschaften der Bewegung von Materie:

Partikel können ihre Position aufgrund von Formkontakten ändern, die die Bedingungen ihrer Bewegung definieren

Die Art und Weise, wie Teilchen ihre Position ändern, ist der dominierende Faktor, der die Materie hinsichtlich der Dissipationsarbeit charakterisiert, die erforderlich ist, um diese Bewegungen zu erreichen

Die Art und Weise, wie die Teilchen ihre Position ändern, bestimmt die Energieintensität des Massensystems und damit die Größe des inneren Reibungswinkels der Teilchen

Bei gleicher Wahrscheinlichkeit aller Partikelverschiebungen beträgt der mittlere wahrscheinliche Winkel der inneren Reibung der Partikel 39,2°.

Das vorgestellte Modell ermöglicht sowohl die Interpretation der Messwerte des inneren Reibungswinkels als auch die Anwendung der Messwerte im Bereich der Simulationen von Massenmodellen und mechanischen Prozessen.

Die Flugbahn sich bewegender Partikel hängt möglicherweise nicht immer direkt von äußeren Kräften ab, die mechanische Arbeit leisten. Die innere Reibung kann als Maß für die Verlustarbeit und der Winkel der inneren Reibung als Verhältnis der Verlustarbeit verstanden werden. Die geleistete Arbeit, also das Skalarprodukt aus äußerer Kraft und Teilchenbahn, ist das Produkt zweier unabhängiger Größen. Die äußere Kraft ist eine Funktion der externen Eingaben und die Flugbahnen sind eine Funktion der Position der Partikel (Partikelkonfiguration) vor der Bewegung und der Änderungen ihrer Positionen während der Bewegung.

Aktive Partikel haben im Allgemeinen zwei Möglichkeiten, ihre Position relativ zu den umgebenden Partikeln zu ändern. Der erste Weg besteht darin, dass die aktiven Teilchen die passiven Teilchen nicht aus ihrer Position drängen, sondern sich um sie herum bewegen. Die zweite Methode besteht darin, dass die aktiven Teilchen die passiven Teilchen aus ihrer Position verdrängen und die ursprüngliche Position der passiven Teilchen einnehmen.

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Dieses Papier wurde im Rahmen des Projekts „Innovative und additive Fertigungstechnologie – neue technologische Lösungen für den 3D-Druck von Metallen und Verbundwerkstoffen“, reg., erstellt. NEIN. CZ.02.1.01/0.0/0.0/17_049/0008407 finanziert durch Structural Founds of Europe Union und durch den Zuschuss von SGS Nr. SP2021/55, Fakultät für Bergbau und Geologie, VSB – Technische Universität Ostrava, Tschechische Republik.

VSB-TU Ostrava, CEET, ENET-Zentrum, Schüttgutzentrum, 17. 15. November, 708 00, Ostrava, Tschechische Republik

Jiri Zegzulka, Jan Necas, Jiri Rozrozz und Lucie Jezerska

Abteilung für Bergbautechnik und Sicherheit, Fakultät für Bergbau und Geologie, VSB-TU Ostrava, 17. listopadu 15, 708 00, Ostrava, Tschechische Republik

Herr Zegzulka, Herr Necas, Herr Rosebroj und Daniel Gelnar

Abteilung für mechanisches, chemisches und industrielles Design, Polytechnische Universität Madrid, Ronda de Valencia 3, 28012, Madrid, Spanien

Alvaro Ramirez-Gomez

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Alle Autoren haben die veröffentlichte Version des Manuskripts gelesen und ihr zugestimmt. JZ hat die Mechanismen entdeckt. JR hat den Haupttext des Manuskripts geschrieben. LJ und JN haben den Text korrigiert. JZ, DG und LJ haben die Experimente entworfen. DG, JR führten die Experimente durch. DG, JR und AR-G. analysierte die Daten.

Korrespondenz mit Lucie Jezerska.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Zegzulka, J., Necas, J., Rozrozz, J. et al. Internes Reibungswinkelmodell von Partikeln. Sci Rep. 12, 2036 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-05891-8

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Eingegangen: 13. September 2021

Angenommen: 13. Januar 2022

Veröffentlicht: 07. Februar 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-05891-8

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